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\title{\texttt{gauss.sty} - Visualisierung des Gaußschen Eliminationsverfahrens}


\author{Herbert Voß}

\maketitle
\begin{abstract}
Die Zahl der vorhanden \LaTeX{}-Pakete ist sicherlich endlich, wenn
man auch manchmal den gegenteiligen Eindruck hat. Neben den mehr oder
weniger bekannten Paketen gibt es eine erhebliche Anzahl, die einem
großen Anwenderkreis deswegen nicht bekannt sind, weil deren Anwendung
häufig sehr speziell ist. Dazu gehört sicherlich das Paket \texttt{gauss.sty},
welches nur sehr spezielle Wünsche erfüllt, die im folgenden an Beispielen
beschrieben werden.
\end{abstract}

\section{Einführung}

Das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
kann als Standardanwendung innerhalb der Naturwissenschaften bezeichnet
werden. \TeX{} ist dafür bekannt, dass es insbesondere den mathematischen
Zeichensatz hervorragend beherrscht. Dabei kann es in der Darstellung
trotzdem zu erheblichen Problemen kommen, wenn zusätzliche Erläuterungen
zu den einzelnen Rechenschritten erforderlich sind.

Für diesen Fall bietet das Paket \texttt{gauss.sty} eine spezielle
Unterstützung. Das Paket kann von jedem beliebigen CTAN-Server heruntergeladen
werden (\url{CTAN:/latex/contrib/other/gauss/gauss.sty}), beispielsweise von
\texttt{ftp.dante.de}. Eine entsprechende ausführliche Dokumentation
mit einem zusätzlichen Beispiel im Quellcode findet sich ebenfalls
dort. Das Paket wird in der üblichen Art und Weise in einen bestehenden
\TeX{}-Baum eingebunden. 

\texttt{gauss.sty} verwendet zum Erstellen der diversen Linienzüge
ausschließlich die picture-Umgebung, sodass eine PDF-Ausgabe ohne
weiteres möglich ist.


\section{\texttt{gmatrix}-Umgebung}

In Analogie zum \texttt{amsmath.sty}-Paket wird eine Matrixumgebung
zur Verfügung gestellt, was an sich nichts besonderes ist, wenn man
einmal davon absieht, dass standardmäßig keine Klammerung vorgesehen
ist. Diese kann der Einfachheit halber über einen optionalen Parameter
gesetzt werden, der letztlich bestimmt, welche der Matrixumgebungen
von amsmath benutzt wird:

\addtolength{\myVSpace}{0.9cm}

\begin{center}\noindent\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{c|X}
Option&
Bedeutung\\
\hline
\texttt{\xstrut} &
\texttt{\textbackslash{}begin\{gmatrix\}} $\rightarrow $ \texttt{\textbackslash{}begin\{matrix\}}
$\rightarrow $ $\begin{gmatrix}
  1 & 2\\
  3 & 4
\end{gmatrix}$\\
\texttt{\xstrut} v&
\texttt{\textbackslash{}begin\{gmatrix\}{[}v{]}} $\rightarrow $ \texttt{\textbackslash{}begin\{vmatrix\}}
$\rightarrow $ $\begin{gmatrix}[v]
  1 & 2\\
  3 & 4
\end{gmatrix}$\\
\texttt{\xstrut}V&
\texttt{\textbackslash{}begin\{gmatrix\}{[}V{]}} $\rightarrow $ \texttt{\textbackslash{}begin\{Vmatrix\}}
$\rightarrow $ $\begin{gmatrix}[V]
  1 & 2\\
  3 & 4
\end{gmatrix}$\\
\texttt{\xstrut}p&
\texttt{\textbackslash{}begin\{gmatrix\}{[}p{]}} $\rightarrow $ \texttt{\textbackslash{}begin\{pmatrix\}}
$\rightarrow $ $\begin{gmatrix}[p]
  1 & 2\\
  3 & 4
\end{gmatrix}$\\
\texttt{\xstrut}b&
\texttt{\textbackslash{}begin\{gmatrix\}{[}b{]}} $\rightarrow $ \texttt{\textbackslash{}begin\{bmatrix\}}
$\rightarrow $ $\begin{gmatrix}[b]
  1 & 2\\
  3 & 4
\end{gmatrix}$\\
\texttt{\xstrut}B&
\texttt{\textbackslash{}begin\{gmatrix\}{[}B{]}} $\rightarrow $ \texttt{\textbackslash{}begin\{Bmatrix\}}
$\rightarrow $ $\begin{gmatrix}[B]
  1 & 2\\
  3 & 4
\end{gmatrix}$\\
\end{tabularx}\end{center}

Ohne Parameter ist es die einfache Matrixumgebung von \texttt{amsmath.sty}.
Daneben wird noch der Befehl \texttt{\textbackslash{}newmatrix} angeboten,
der es ermöglicht, weitere Umgebungen mit beliebigen Klammern zu definieren,
beispielsweise:

\begin{center}\texttt{\textbackslash{}newmatrix\{{]}\}\{{[}\}\{q\}}
$\rightarrow $ \texttt{\textbackslash{}begin\{gmatrix\}{[}q{]}} $\rightarrow $
\newmatrix{]}{[}{q}
$\begin{gmatrix}[q]
  1 & 2\\
  3 & 4
\end{gmatrix}$\end{center}

Die ersten beiden Parameter geben die Klammerung und der dritte das
Optionskürzel an. Es ist offensichtlich, dass als Kürzel \texttt{v,
V, p, b, B} wenig Sinn machen und \texttt{g} nicht zur Verfügung steht.


\section{Zeilen- und Spaltenmarkierungen}

Die Zählung der Zeilen und Spalten beginnt in der linken oberen Ecke
jeweils bei 0, womit der unteren Ecke dann (Zeilenanzahl-1, Spaltenanzahl-1)
zugeordnet wird. 

Zeilenmarkierungen werden durch den Befehl \texttt{\textbackslash{}rowops}
und Spaltenoperationen durch \texttt{\textbackslash{}colops} eingeleitet.
Für die speziellen Markierungen (Operationen) stehen die folgenden
drei Befehle zur Verfügung

\noindent\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{X|X}
Syntax&
Bedeutung\\
\hline
\texttt{\textbackslash{}add{[}<Summand>{]}\{<Z/S>\}\{<Z/S>\}}&
Gibt eine Additionsmarkierung für entsprechende Zeilen/Spalten \texttt{<Z/S>}
aus\\
\texttt{\textbackslash{}mult\{<Z/S>\}\{<Faktor>\}}&
Gibt eine Multiplikationsmarkierung für entsprechende Zeile/Spalte
\texttt{<Z/S>} aus\\
\texttt{\textbackslash{}swap\{<Z/S>\}\{<Z/S>\}}&
Markiert zwei Zeilen/Spalten \texttt{<Z/S>} durch einen Doppelpfeil\\
\end{tabularx}


\subsection{Beispiele}

In einem linearen Gleichungssystem sollen zwei linear abhängige Zeilen
und Spalten in der Koeffizientenmatrix markiert werden:

\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}%
$\begin{gmatrix}[b]
   1   & 2   & -3\\
   0.1 & 0.2 & -1\\
  -0.5 &-1   & \frac{3}{2}
\rowops
\swap{0}{2}
\colops
\swap{0}{1}
\end{gmatrix}$
\end{minipage}%
\hfill{}\begin{minipage}[c]{0.40\linewidth}%
{\setstretch{0.9}\footnotesize
\begin{verbatim}
$\begin{gmatrix}[b]
   1   & 2   & -3\\
   0.1 & 0.2 & -1\\
  -0.5 &-1   & \frac{3}{2}
\rowops
\swap{0}{2}
\colops
\swap{0}{1}
\end{gmatrix}$
\end{verbatim}}
\end{minipage}%


Prinzipiell ist der \texttt{\textbackslash{}swap}-Befehl vorgesehen
um zwei Zeilen/Spalten zu markieren, die in ihrer Anordnung vertauscht
werden sollen. 

Würde man dieses Gleichungssystem in der üblichen Art und Weise, beispielsweise
mit Hilfe der Additionsmethode, in eine Dreiecksform bringen wollen,
so bietet sich das Gaußsche Eliminationsverfahren an. Für die ersten
beiden Durchgänge ergibt sich dann:

\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}%
$\begin{gmatrix}[b]
   1   & 2   & -3\\
   0.1 & 0.2 & -1\\
  -0.5 &-1   & \frac{3}{2}
\rowops
\mult{0}{\cdot(-0.1)}
\add{0}{1}
\swap{1}{2}
\end{gmatrix}$\\[2ex]
$\begin{gmatrix}[b]
   1   & 2 & -3\\
  -0.5 &-1 & \frac{3}{2}\\
   0   & 0 & -0.7
\rowops
\mult{0}{\cdot0.5}
\add{0}{1}
\end{gmatrix}$
\end{minipage}%
\hfill{}\begin{minipage}[c]{0.40\linewidth}%
{\setstretch{0.9}\footnotesize
\begin{verbatim}
$\begin{gmatrix}[b]
   1   & 2   & -3\\
   0.1 & 0.2 & -1\\
  -0.5 &-1   & \frac{3}{2}
\rowops
\mult{0}{\cdot(-0.1)}
\add{0}{1}
\swap{1}{2}
\end{gmatrix}$\\[2ex]
...
\end{verbatim}}
\end{minipage}%


Eine komplette Anwendung zeigt das folgende Beispiel, welches das
lineare Gleichungssystem $\vec{A}\cdot \vec{x}=\vec{b}$ löst:

\begin{equation}
\begin{gmatrix}[b]
 1 &-2 & 1 & 2\\
 2 & 3 &-2 & 3\\
 4 &-1 & 3 &-1\\
 3 & 2 &-4 & 5
\end{gmatrix}\cdot%
\begin{gmatrix}[b]
 x\\
 y\\
 z\\
 t
\end{gmatrix}=%
\begin{gmatrix}[b]
 8\\
 14\\
 7\\
 5
\end{gmatrix}
\end{equation}

\renewcommand\rowmultlabel[1]{%
  |\,\cdot#1%
}
\[
\begin{gmatrix}
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % Zeile 0
 2 & 3 &-2 & 3 & & 14\\ % 1
 4 &-1 & 3 &-1 & & 7 \\ % 2
 3 & 2 &-4 & 5 & & 5 \\ % 3
                     \\
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % 5
 0 & 7 &-4 &-1 & &-2 \\ % 6
 0 & 7 &-1 &-9 & &-25\\ % 7
 0 & 8 &-7 &-1 & &-9 \\ % 8
                     \\
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % 10
 0 & 7 &-4 &-1 & &-2 \\ % 11
 0 & 0 & 3 &-8 & &-23\\ % 12
 0 & 0 &-17& 1 & &-47\\ % 13
                     \\
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % 15
 0 & 7 &-4 &-1 & &-2 \\ % 16
 0 & 0 & 3 &-8 & &-23\\ % 17
 0 & 0 & 0 &-\frac{133}{3}& &\frac{-532}{3}
%
\rowops
\mult{0}{(-2)}\add{0}{1}            % 1. Matrix
\mult{0}{(-4)}\add{0}{2}
\mult{0}{(-3)}\add{0}{3}
%
\mult{6}{(-1)}\add{6}{7}            % 2. Matrix
\mult{6}{(-\frac{8}{7})}\add{6}{8}
%
\mult{12}{\frac{17}{3}}\add{12}{13} % 3. Matrix
\end{gmatrix}
\]

Die vertikale Ausrichtung ist dabei nicht ganz unproblematisch, denn
einerseits muss alles linksbündig ausgerichtet sein und andererseits
haben die einzelnen Zellen eine unterschiedliche horizontale Breite.
In solchen Fällen erstellt man am besten nicht vier verschiedene Matrizen,
sondern setzt alles in eine einzige ,,gmatrix{}``-Umgebung und markiert
sich dabei einfach die einzelnen Zeilen:

{%\setstretch{0.9}
\small
\begin{verbatim}
\begin{gmatrix}
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % Zeile 0
 2 & 3 &-2 & 3 & & 14\\ % Zeile 1
 4 &-1 & 3 &-1 & & 7 \\ % Zeile 2
 3 & 2 &-4 & 5 & & 5 \\ % Zeile 3
                     \\
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % Zeile 5
 0 & 7 &-4 &-1 & &-2 \\ % Zeile 6
 0 & 7 &-1 &-9 & &-25\\ % Zeile 7
 0 & 8 &-7 &-1 & &-9 \\ % Zeile 8
                     \\
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % Zeile 10
 0 & 7 &-4 &-1 & &-2 \\ % Zeile 11
 0 & 0 & 3 &-8 & &-23\\ % Zeile 12
 0 & 0 &-17& 1 & &-47\\ % Zeile 13
                     \\
 1 &-2 & 1 & 2 & & 8 \\ % Zeile 15
 0 & 7 &-4 &-1 & &-2 \\ % Zeile 16
 0 & 0 & 3 &-8 & &-23\\ % Zeile 17
 0 & 0 & 0 &-\frac{133}{3}& &\frac{-532}{3}
%
\rowops
\mult{0}{(-2)}\add{0}{1}            % 1. Matrix
\mult{0}{(-4)}\add{0}{2}
\mult{0}{(-3)}\add{0}{3}
%
\mult{6}{(-1)}\add{6}{7}            % 2. Matrix
\mult{6}{(-\frac{8}{7})}\add{6}{8}
%
\mult{12}{\frac{17}{3}}\add{12}{13} % 3. Matrix
\end{gmatrix}
\end{verbatim}}

Schwieriger wird es, wenn zusätzlich eine Klammerung und Nummerierung
der einzelnen Teilmatrizen gewünscht wird. In diesem Fall kann auf
die bekannte \texttt{tabular}-Umgebung zurückgegriffen werden, wobei
nur eine Spalte definiert wird.

\begin{tabular}{p{\columnwidth}}
\begin{equation}
  \begin{gmatrix}[p]
   1 &-2 & 1 & 2 \\ % Zeile 0
   2 & 3 &-2 & 3 \\ % 1
   4 &-1 & 3 &-1 \\ % 2
   3 & 2 &-4 & 5    % 3
  \rowops
  \mult{0}{(-2)}\add{0}{1}
  \mult{0}{(-4)}\add{0}{2}
  \mult{0}{(-3)}\add{0}{3}
  \end{gmatrix}
\end{equation} 
\\ % Ende 1. Matrix
\begin{equation}
  \begin{gmatrix}[p]
   1 &-2 & 1 & 2 \\ % Zeile 0
   0 & 7 &-4 &-1 \\ % 1
   0 & 7 &-1 &-9 \\ % 2
   0 & 8 &-7 &-1    % 3
  \rowops
  \mult{1}{(-1)}\add{1}{2}
  \mult{1}{(-\frac{8}{7})}\add{1}{3}
  \end{gmatrix}
\end{equation} 
\end{tabular}


{%\setstretch{0.9}
\small
\begin{verbatim}
\begin{tabular}{p{\columnwidth}}
\begin{equation}
  \begin{gmatrix}[p]
   1 &-2 & 1 & 2 \\ % Zeile 0
   2 & 3 &-2 & 3 \\ % 1
   4 &-1 & 3 &-1 \\ % 2
   3 & 2 &-4 & 5    % 3
  \rowops
  \mult{0}{(-2)}\add{0}{1}
  \mult{0}{(-4)}\add{0}{2}
  \mult{0}{(-3)}\add{0}{3}
  \end{gmatrix}
\end{equation} 
\\ % Ende 1. Matrix
\begin{equation}
  \begin{gmatrix}[p]
   1 &-2 & 1 & 2 \\ % Zeile 0
   0 & 7 &-4 &-1 \\ % 1
   0 & 7 &-1 &-9 \\ % 2
   0 & 8 &-7 &-1    % 3
  \rowops
  \mult{1}{(-1)}\add{1}{2}
  \mult{1}{(-\frac{8}{7})}\add{1}{3}
  \end{gmatrix}
\end{equation} 
\end{tabular}
\end{verbatim}}

Insbesondere die \texttt{mult}-Funktion kann auch für normale Gleichungsumformungen
benutzt werden, wenn man diese innerhalb der \texttt{gmatrix}-Umgebung
beschreibt.

\renewcommand\rowmultlabel[1]{\left|\,#1\right.}
\begin{equation}\label{schwingkreis}
  \begin{gmatrix}
    \displaystyle%
    \frac{1}{C}\int i\cdot dt+L\cdot\frac{di}{dt}+R\cdot i\hfill & = & 0\\
    \displaystyle%
    \frac{1}{C}\cdot i+L\cdot\frac{d^2i}{dt^2}+R\cdot\frac{di}{dt}\hfill & = &0\\
    \displaystyle%
    \frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\cdot\frac{di}{dt}+\frac{1}{LC}\cdot i\hfill & = & 0\\
    \\
    \displaystyle%
    \ddot{i}+\delta\dot{i}+\omega_0^2i\hfill & = &0
  \rowops
  \mult{0}{\mbox{Differentiation}}
  \mult{1}{:L\mbox{ und sortieren}}
  \mult{2}{\displaystyle\frac{R}{L}=\delta;\ \frac{1}{LC}=\omega_0^2}
  \end{gmatrix}
\end{equation} 


Gl.\ref{schwingkreis} ergibt sich durch folgende Befehlssequenzen,
wobei der erste Befehl im folgenden Abschnitt beschrieben wird:

{%\setstretch{0.9}
\footnotesize
\begin{verbatim}
\renewcommand\rowmultlabel[1]{\left|\,#1\right.}
\begin{equation}
    \displaystyle%
    \frac{1}{C}\int i\cdot dt+L\cdot\frac{di}{dt}+R\cdot i\hfill & = & 0\\
    [ ... ]
    \displaystyle%
    \ddot{i}+\delta\dot{i}+\omega_0^2i\hfill & = &0
  \rowops
  \mult{0}{\mbox{Differentiation}}
  \mult{1}{:L\mbox{ und sortieren}}
  \mult{2}{\displaystyle\frac{R}{L}=\delta;\ \frac{1}{LC}=\omega_0^2}
  \end{gmatrix}
\end{equation}
\end{verbatim}}


\section{Weitere Funktionen}

Das Paket \texttt{gauss} gestattet die Neudefinition der Label für
die Additions- bzw. Multiplikationsmarkierungen, sodass beispielsweise
ein Multiplikationspunkt standardmäßig gesetzt werden kann. 

\begin{verbatim}
\renewcommand{\rowmultlabel}[1]{|\,\cdot#1}
\end{verbatim}

Für die Zeilen und Spalten gibt es dabei unterschiedliche Label, die
in der üblichen Weise überschrieben werden können.

\begin{verbatim}
\rowaddlabel 
\rowmultlabel 
\coladdlabel 
\colmultlabel
\end{verbatim}


\section{Hinweise}

Bei der Anwendung der gmatrix-Umgebung ist im wesentlichen nur zu
beachten, dass die letzte Zeile keinen \texttt{\textbackslash{}\textbackslash{}}-Befehl
aufweisen darf. Die letzte Zeile wird auch für die Berechnung der
einzelnen Spaltenbreiten herangezogen, woraus folgt, dass alle Spalten
vorhanden sein müssen. Die jeweilige Höhe einer Zeile orientiert sich
nur an der Höhe der einzelnen Spalten, nicht jedoch an der Höhe der
Label. 

Es ist grundsätzlich darauf zu achten, dass bei gleichzeitiger Verwendung
von \texttt{amsmath.sty} dieses vor \texttt{gauss.sty} geladen wird.


\address{Herbert}{Voß}{Wasgenstr. 21\\14129 Berlin\\voss@perce.de}
